考研数学常见公式默写

高等数学

一、两个重要极限

$\lim_\limits{x\rightarrow0}\frac{\sin{x}}{x}=\underline{\hspace{1cm}}$
$\lim_\limits{x\rightarrow+\infty}(\:\:\:\:+\:\:\:\:)^x=\underline{\hspace{1cm}}$

推广：对于$1^{\infty}$型求极限，设$\lim f = 1,\lim g =\infty$ ，则$\lim f^{g}=e^{lim{(\:\:\:\:\:)\times\underline{\hspace{0.5cm}}}}$

二、等价无穷小替换

当$x \rightarrow 0$时，

$x \sim \underline{\hspace{1cm}} \sim \underline{\hspace{1cm}} \sim \underline{\hspace{1cm}} \sim \underline{\hspace{1cm}}$ ，$e^x - 1 \sim \underline{\hspace{1cm}}$
$\ln(1+x)\sim\underline{\hspace{1cm}}$ , $\ln x \sim \underline{\hspace{1cm}}(x \to 1)$
$(1+x)^{\alpha}-1 \sim \underline{\hspace{1cm}}$ , $a^x - 1 \sim \underline{\hspace{1cm}}$
$1 - \cos x \sim \underline{\hspace{1cm}}$
$x - \sin x \sim \arcsin x - x \sim \underline{\hspace{1cm}}$， $\tan x - x \sim x - \arctan x \sim \underline{\hspace{1cm}}$
$x - \ln(1+x) \sim \underline{\hspace{1cm}}$

三、泰勒公式

$f(x)=\underline{f(x_0)+\hspace{15cm}}$

令$x_0=0$，常用函数的麦克劳林公式：

$e^x = \underline{\hspace{5cm}}$ ，$\ln (1+x)=\underline{\hspace{5cm}}$
$\dfrac{1}{1+x}=\underline{\hspace{5cm}}$
$\sin x =\underline{\hspace{5cm}}$ ，$\cos x = \underline{\hspace{5cm}}$
$\tan x=\underline{\hspace{5cm}}$
$\arcsin x=\underline{\hspace{5cm}}$，$\arctan x=\underline{\hspace{5cm}}$

四、求导公式

（1）常用函数的导数公式

① $C’=\underline{\hspace{1cm}}$ ② $(x^a)’=\underline{\hspace{1cm}}$ ③ $a^x=\underline{\hspace{1cm}}$ $e^x=\underline{\hspace{1cm}}$ ④ $(log_ax)’=\underline{\hspace{1cm}}$ $(\ln x)’=\underline{\hspace{1cm}}$

⑤ $(\sin x)’=\underline{\hspace{1cm}}$ $(\cos x)’=\underline{\hspace{1cm}}$ $(\tan x)’=\underline{\hspace{1cm}}$

⑥ $cotx=\dfrac{1}{\underline{\hspace{1cm}}}$ $(\cot x)’=\underline{\hspace{1cm}}$

⑦ $\sec x=\dfrac{1}{\underline{\hspace{1cm}}}$ $(\sec x)’={\underline{\hspace{1.5cm}}}$

⑧ $\csc x=\dfrac{1}{\underline{\hspace{1cm}}}$ $(\csc x)’={\underline{\hspace{1.3cm}}}$

⑨ $(\arcsin x)’= \underline{\hspace{2cm}}$ $(\arccos x)’=\underline{\hspace{2cm}}$

⑩ $(\arctan x)’= \underline{\hspace{2cm}}$ $(arccot x)’=\underline{\hspace{2cm}}$

（2）参数式所确定的函数的求导公式

设函数$y=f(x)$ 由参数式

$f(x)=\begin{cases} x=x(t)\\ y=y(t) \end{cases}$

确定，并设 $x(t)$ 与 $y(t)$ 均可导，$x’(t) \ne 0$ , 则

$y’_x=\dfrac{y’_t}{x’_t}$ $y’’_{xx}=\underline{\hspace{2cm}}$

(3)反函数的一阶1及二阶导数公式

设$y=f(x)$可导且$f’(x) \ne 0$，则存在反函数$x=\phi(y)$ ，且

$\dfrac{dx}{dy}=\dfrac{1}{\dfrac{dy}{dx}}$ ，即 $\phi'(y)=\dfrac{1}{f'(x)}$

若又设$y=f(x)$存在二阶导数，则

$\phi''(y)=\underline{\hspace{3cm}}$